紛らわしい「商集合」記号

これはある意味で前々回の続きになる話題であるが：

m, n を整数とするとき「(1/2) m/n」と「m/2n」は同じことだ。ところが整数の集合を Z と書くとき「(1/2)Z / Z」と「Z / 2Z」は異なる意味になることに気付いた。

集合 A と集合 B の割算 A/B を商集合という。A の要素 a1, a2 の差 a1-a2 が 集合 B に属するとき「a1≡a2 (mod B)」と書いて「B を法として合同」という（これが前々回の話題）。商集合の記号 A/B は集合 A を B を法として合同となる要素ごとに分割（類別）して得られる集合を意味する。もっとも簡単な例が Z/2Z で，整数 Z を要素の差が偶数か否かで分類する（１と３は同類だが１と２は異なる）と偶数類と奇数類に分かれるわけだ。代表元として０と１を選べば Z/2Z={0, 1} と書ける：０が偶数の代表で１が奇数の代表。

表題は (1/2)Z/Z={0, 1/2} ということに今更ながら気付いたということ。(1/2)Z は整数を２で割って得られる集合だから (1/2)Z={..., -3/2, -1,  -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...} で，これを整数 Z を法として分類するからだ。本質的には偶数・奇数による分類なのだが代表元表示が異なる。ちなみに (1/2)Z/Z とあるのは井草準一先生の本。